9 Numérisation du signal

9.1 Introduction

• Lors de l’acquisition numérique du signal par une carte d’acquisition (ou carte son, appareil de mesure, oscilloscope, …) dotée d’un convertisseur analogique-numérique, le signal analogique à variation continue est réduit à un ensemble de valeurs numériques caractérisant l’amplitude du signal prelevée à des instants successifs, généralement à intervalles réguliers.

• Pour cela, plusieurs opérations sont réalisées :

  1. l’échantillonnage prélève, le plus souvent à intervalles réguliers, la valeur du signal ;
     
  2. la quantification transforme une valeur quelconque en une valeur prise dans une liste finie de valeurs valides pour le système ;
     
  3. le codage fait correspondre à chaque valeur valide pour le système un code numérique.

• La période d’échantillonnage à laquelle les valeurs du signal sont prélevées est fixée par le choix de la fréquence d’échantillonnage [eng: sampling frequency ou sampling rate].

• La quantification permet d’approcher par un ensemble de valeurs discrètes l’amplitude d’un signal continu.

  • Remarques:
    • Plusieurs méthodes sont utilisées. [lien wikipedia]
    • On se limite dans la suite à la quantification scalaire uniforme.
    • On discutera essentiellement de la quantification des signaux temporels, mais c’est une opération également indispensable à la numérisation des images.

Légende:
* trait rouge: signal analogique s(t)
* à gauche : échantillonnage à intervalles réguliers. Points noirs : valeurs du signal écchantillonnées à des instants distants de \Delta t = 1/ F_e, avec F_e la fréquence d’échantillonnage.
* au milieu : on approche les valeurs continues du signal analogique par des valeurs prédéfines par le système d’acquisition et son réglage \longrightarrow trait noir
* à droite : ren bleu, le résultat de la combinaison des deux opérations (signal bleu: rendu sous forme d’échantillonnage-blocage [wikipeddia])

9.2 Erreurs dues à la numérisation

• L’erreur de quantification apparait lorsqu’il y a une conversion analogique-numérique du signal

• Les valeurs sont échantillonnées à intervalle de temps le plus souvent régulier, déterminé par la fréquence d’échantillonnnage.

• L’amplitude d’un signal analogique s(t) est codée selon des valeurs numériques discrètes dont le pas \Delta s dépend du nombre de bits sur lequel l’amplitude est codée (codage sur 8 bits : 2^8 = 256 valeurs possibles, codage sur 12 bits : 2^{12} = 4096 valeurs possibles).
  Par exemple: pour une carte d’acquisition dont le calibre d’entrée est \pm 10 Volts, le pas de quantification pour un codage sur 8 bits est 78,4 mV, tandis qu’il est de 4.9 mV pour un codage sur 12 bits. L’incertitude maximale liée à la quantification dd’un signal s(t) est de \pm\Delta s.

• Plus la fréquence d’échantillonnage est élevée, et plus l’amplitude du signal est proche de la dynamique de l’échantillonneur, car on augmente la densité de points prélevée (pas d’échantillonnage \Delta t = 1/F_e.), et donc le signal numérisé resemble le plus au signal analogique. En contrepartie, la taille mémoire et les performances augmentent (et donc aussi le prix et le coût énergétique).

Légende :

Acquisition numérique et analyse spectrale d’un signal constitué de deux composantes sinusoidales :

s(t)= A_1 \sin (2 \pi F_1 t) + A_2 \sin (2 \pi F_2 t)
avec A_1=2, A_2=1, F_1=100 Hz, et F_2=157 Hz

• Figures:

  • gauche : signal temporel
  • milieu: spectre (analyse fréquentielle)
  • droite: erreur de quantification = différence numérisé - analogique

• de haut en bas : différents paramètres de numérisation : \Delta s et Fréquence d’échantillonnage F_e (et \Delta t).

• ligne 1 : F_e = 603 Hz (\Delta t = 1.66 ms), \Delta s = 1.9531 Volts

• ligne 2 : F_e = 2010 Hz (\Delta t = 0.50 ms), \Delta s = 1.9531 Volts

• ligne 3 : F_e = 603 Hz (\Delta t = 1.66 ms), \Delta s = 0.0234 Volts

• ligne 3 : F_e = 2010 Hz (\Delta t = 0.50 ms), \Delta s = 0.0234 Volts

• couleurs et symboles :

  • trait rouge : signal analogique (temporel s(t) et fréquentiel S(f) calculé par FFT)
  • trait bleu : signal numérisé (temporel s_n(t) et fréquentiel S_n(f)) - (restitution numérique \longrightarrow analogique sous la forme du blocage des valeurs).
  • trait noir : différence numérique - analogique s_n(t)-s(t)
  • points noirs : points mémorisés $s_i $
  • cerle rouge : amplitude réelle des deux composantes sinusoïdales

Commentaires :

• On constate que plus la fréquence d’échantillonnage est élevée et plus le pas de quantification est faible, plus le signal numérisé est proche du signal analogique
• L’erreur signal numérisé - signaal analogique est alors d’autant plus réduite
• Pour minimiser l’erreur due à la quantification, il faut ajuster le niveau d’entrée de la carte d’acquisition au niveau de la source (jouer sur le calibre d’entrée, et/ou sur le gain d’amplification en amont de l’acquisition)
• En augmentant F_e (et donc en diminuant \delta t), on améliore la description temporelle, au prix d’une augmentation du nombre de valeurs à mémorisers

9.3 Paramètres d’échantillonnage

On se concentre dans ce paragraphe, sur les domaines temporels et fréquentiels

• Fréquence d’échantillonnage F_s : fréquence à laquelle les valeurs du siignal sont mémorisées, notées F_e dans ce cours, et souvent noté F_s pour sampling frequency ou s_r pour sampling rate

• Pas d’échantilonnage \delta t : intervalle de temps entre 2 prises de valeur, \delta t = 1/F_s

• Si on note t_n les valeurs discrètes du temps, alors : \delta t = t_{n+1}-t_n

9.4 Liens

9.5 Livres