Exercices

décibels

• Vous analysez le spectre d’un signal sinusoïdal de fréquence 100 Hz, 1 volt crête délivré par un générateur basse fréquence (GBF).

• En plaçant le curseur sur le pic à 100 Hz, l’analyseur vous indique un niveau de -3 dB

• Question : quelle est la tension de référence pour le calcul des décibels ?

Fréquence d’échantillonnage et nombre de points par période

On échantillonne un signal sinusoïdal de fréquence F_{sin}=1000 Hz à une fréquence d’échantillonnage fixe F_e=10 kHz pendant une durée d’enregistrement T_{enr}=10 secondes.

1. Combien enregistre-t-on de points par seconde ?

   La fréquence d’échantillonnage nous indique directement le nombre de valeurs enregistrées par seconde : F_e = 10 kHz \Longrightarrow 10 000 points par seconde

2. Quel est l’intervalle de temps entre deux échantillons ?

   L’intervalle de temps entre deux échantillons est \Delta t = 1 / F_e = 1/10\ 000 s = 0.1 ms

3. Combien de points a-t-on enregistré au total ?

   En 10 secondes, le nombre de points enregistrés est N_{pts} = T_{enr} / \Delta t = T_{enr} \times F_e = 10 \times 10\ 000 = 100\ 000 points

4. Combien y-a-t’il de points par période du sinus ?

   • On calcule d’abord la période du sinus : T = 1 / F_{sin} = 1 / 1000 = 0.001 s

   • On calcule ensuite le nombre de points par période: N_{T} = T / \Delta t = T \times F_e = F_e / F_{sin} = 10\ 000 / 1000 = 10 points par période

Résolution fréquentielle

Sur un logiciel ou appareil d’analyse du signal, on numérise un signal

• On fixe le nb de points du spectre à 1000 points (on dit parfois 1000 lignes dans certains logiciels ou appareils)

• On enregistre 3 spectres en demandant une analyse sur des bandes de fréquences différentes :

  • F \in [0, 100] Hz
  • F \in [0, 1000] Hz
  • F \in [0, 10000] Hz

• Question : Pour chaque spectre, déterminez la résolution fréquentielle \Delta f

Résolution fréquentielle et analyse

On considère qu’il faut au minimum huit points de séparation pour distinguer deux pics d’ampliude dans le spectre.

• Quelle est la résolution nécessaire pour mesurer l’ampltude de 3 pics caractérisant les fréquences de rotation des axes d’une machine à 14.67 Hz, 18.2 Hz, et 23.2 Hz ?

• On considère le cas où on effectue 3 analyses sur les gammes de fréquence [0,100] Hz, [0,1000] Hz, [0, 10000] Hz, avec des résolutions respecctives de 0.25, 2.5, et 25 Hz. Qu’allez-vous observer pour ces 3 fréquences ?

Lien entre les paramètres d’analyse

• Les paramètres d’analyse sont généralement liés

• Vous avez demandé à un logiciel d’analyser le spectre d’un signal dans la gamme de fréquence [0, 5000] Hz (étendue du spectre)

• Le graphique de l’amplitude en fonction du temps vous indique que la résolution temporelle est \Delta t = 78.125 \rm{\mu s}.

  • Quelle est la fréquence d’échantillonnage F_e ?
  • Pouvez-vous expliquer la relation entre la fréquence maximum de l’intervalle analysé et la fréquence d’échantillonnage ?

• Le graphique de l’amplitude du spectre indique une résolution fréquentielle \Delta f = 12.8 Hz. Sur combien de points l’axe des fréquences est-il discrétisé ?

• Vous analysez un signal dont une des fréquences est à 106 Hz.

  • A quelle fréquence verrez-vous le pic d’amplitude correspondant ?
  • Combien de points y-a-t’il par période du sinus à 106 Hz ?
  • La longeur de l’enregistrement est 80 ms. Combien y-a-t’il de points enregistrés ?

• Vous modifiez les paramètres d’analyse et réglez l’étendue fréquentielle sur [0 250] Hz.
  - Sachant que les relations entre les paramètres sont identiques, déterminez les nouvelles valeurs de : la résolution temporelle \Delta t, la fréquence d’échantillonnage F_e, la résolution spectrale \Delta f - A quelle fréquence verrez-vous le pic d’amplitude correspondant à la fréquence 106 Hz ? - Quel sera le nombre de points par période du sinus de fréquence 106 Hz ?

Représentation spectrale, conversion d’unités

Données

• On considère la situation où vous mesurez les vibrations d’une structure et relevez directement l’amplitude de la sortie de l’amplificateur de l’accéléromètre en volts.

• On connait la sensibilité en mv/g (avec g = 9.81 \rm{m/s^2}) : S = 10.33 \ \rm{mv}/g

• On connaît le gain de l’amplificateur de l’accéléromètre : G_{dB} = 20 dB

• Valeurs mesurées :

Table : Valeurs mesurées. NB: U est l’amplitude mesurée.

Questions

• Pour les 5 valeurs indiquées en gras, calculez :

  • les valeurs efficaces de l’accélération \gamma_{rms} en g à partir de l’amplitude de la tension électrique, du gain de l’amplificateur, et de la sensibilité

  • les valeur de la vitesse efficace V_{rms} à partir de l’accélération (indication, il faut intégrer le signal de l’accélération à ces fréquences)

  • les valeurs du déplacement efficace X_{rms} à partir de la vitesse (indication, il faut intégrer le signal de l’accélération à ces fréquences)

• Tracez ces 5 valeurs en fonction de la fréquence Commentez les résultats