Critère de Shannon - ( TRÈS IMPORTANT )
La fréquence d’échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximum du signal analysé :
\boxed{F_e > 2 \ F_{max}}
ou de manière équivalente :
La fréquence maximum du signal analysé doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage :
\boxed{F_{max} < F_e / 2 \ }
Exemple :
Pour les signaux audio au format “wav” : pour numériser les signaux audio jusqu’à 20 000 Hz, on échantillonne à des fréquences F_e > 40 kHz (44.1 kHz (fréquence des CD audio), 48 kHz, 96 kHz, voir 192 kHz).
Si le critère de Shannon n’est pas respecté : il y a repliement (eng: aliasing) et erreur dans l’analyse des fréquences.
Filtre anti repliement
Les analyseurs FFT de bonne qualité appliquent un filtre anti repliement qui agit comme un passe-bas qui filtre les fréquences < F_e / 2 afin d’éviter l’apparition de fréquences artificielles dans le spectre.
NB : la plupart des oscilloscopes numériques proposent une analyse FFT (voir menu math sur les oscilloscopes de TP), mais ils n’ont généralement pas de filtre anti repliement \longrightarrow le repliement du spectre est observable (voir TP) et peut conduire à des erreurs.
Qualité du signal (résolution)
Résolution temporelle : dépend de la fréquence d’échantilonnage (plus elle est élevée, plus le signal numérique est fidèle)
Résolution fréquentielle : détermine la capacité à distinguer les phénomènes. Dépend du nombre de points utilisés pour le calcul de la FFT (et donc de la durée), et de F_e.
Pour distinguer 2 pics sur le spectre, faut au moins 8 \Delta f d’écart (écart minimum 8 . \Delta f entre les pics)
voir TP
Taille mémoire :
si on fixe la durée d’acquisition, le signal numérique sera d’autant plus volumineux (nombre de points) que F_e est élevée
Si on fixe le nombre de points d’acquisition, et si on augmente F_e, alors on numérise une portion plus courte du signal (influence la qualité de l’analyse)
En pratique
NB : si c’est vous qui codez un programme informatique (python, C, matlab, Octave, …), vous devrez définir les liens entre ces paramètres, plus d’autres que nous n’avons pas détaillés (découpage en blocs, taux de recouvrement, moyennes, cchoix et paramétrage des fenêtres de pondération, …)
Fenêtres de pondération
Permettent d’atténuer les effets dus à l’analyse de portions du signal (au lieu d’une durée infinie)
En général, si on ne connaît ni précisément la fréquence, ni l’amplitude des phénomènes observés, on choisit généralement une fenêtre de pondération de type Hann (appelée aussi Hanning).
Si on connaît précisément la fréquence (par exemple parce que l’on connaît la fréquence d’excitation d’un système), alors on peut préférer une fenêtre de pondération de type “Flat Top” qui permet de déterminer les amplitudes de manière plus exacte.
Voir TP pour plus de détails et de recommandation
Axes des représentations du spectre : linéaires ou logarithmiques ?
Amplitudes :
Par exemple, si 3 pics à f_1, f_2 et f_3 avec des amplitudes en Volts RMS : A_1=1 et A_2=0,1 et A_3=0.01, alors en échelle linéaire on ne distinguera pas le pic à f_3, mais en \rm{dB_{ref : 1 V_{RMS}}} on distinguera bien les 3 pics aux niveaux 0, -20, et -40 dB respectivement.
Fréquences
NB: En pratique, on observe souvent les 2 représentations